1/2555
A. Yaicharoen
1
ENE 232
Digital Logic and Circuit Design
1/2555
A. Yaicharoen
2
ระบบตัวเลขและการคำนวณทางคณิตศาสตร์
วัตถุประสงค์ของบทเรียน
รู้จักระบบเลขฐานต่างๆ
วิธีการแปลงฐานเลข
วิธีการคำนวณทางคณิตศาสตร์
1/2555
A. Yaicharoen
3
ระบบตัวเลข
เลขฐานที่ควรจะรู้จัก
- เลขฐานสอง (binary)- เลขฐานแปด (octal)
- เลขฐานสิบ (decimal)- เลขฐานสิบหก (hexadecimal)
การแปลงฐานเลข
- การแปลงเลขฐานใดๆ เป็นเลขฐานสิบ
- การแปลงเลขฐานสิบเป็นฐานอื่นๆ
- การแปลงเลขฐาน a เป็นเลขฐาน b
1/2555
A. Yaicharoen
4
Number Representation
Unsigned number representation
N = an an-1 ... a1 a0. a-1 a-2 ... a-m
สำหรับค่าของ N ในฐาน r ใดๆจะเท่ากับ
anrn+an-1rn-1+…+a0r0+a-1r-1+…+a-mr-m
และ0 ≤ a < r
ตัวอย่างเช่น ค่าของ N ในฐานสิบจะเท่ากับ
an10n+an-110n-1+…+a0100+a-110-1+…+a-m10-m
และ0 ≤ a < 10
1/2555
A. Yaicharoen
5
Number Representation
Signed number representation
s represents a sign bit; 0s:positive, 1s:negative
Positive numbers:
0sN
Negative numbers:
1. Sign-magnitude representation:
1sN
1/2555
A. Yaicharoen
6
Number Representation
Signed number representation (continued)
Negative numbers:
2. Signed r’s-complement representation
1s(rn+1-N)
3. Signed (r-1)’s-complement representation
1s(rn+1-r-m-N)
1/2555
A. Yaicharoen
7
Base Conversion
Iterative method: ใช้ในการแปลงฐานสิบเป็นฐาน n ใดๆ
integers: ใช้วิธีการหาร
fractions: ใช้วิธีการคูณ
Special method
ใช้กับการแปลงเลขฐานสอง, ฐานแปด และฐานสิบหก
1/2555
A. Yaicharoen
8
Iterative Method
1. ส่วนของการเปลี่ยนฐานในส่วนที่เป็นจำนวนเต็ม
- ใช้วิธีการหารสั้นด้วยเลขฐานเป้าหมาย
- นำเศษที่ได้มาเรียงลำดับจากล่างขึ้นบนเพื่อเป็นคำตอบ
2. ส่วนของการเปลี่ยนฐานในส่วนที่เป็นเลขทศนิยม
- ใช้วิธีการคูณด้วยเลขฐานเป้าหมาย
- นำผลของจำนวนเต็มที่ได้จากการคูณมาเรียงลำดับจากบนลงล่างเพื่อเป็นคำตอบ
1/2555
A. Yaicharoen
9
Iterative Method
ตัวอย่าง แปลง 30.7510 เป็นฐานสอง
30 2 = 15 เศษ 0
15 2 = 7 เศษ 1
7 2 = 3 เศษ 1
3 2 = 1 เศษ 1
1 2 = 0 เศษ 1
= 111102
0.75
0.50
30.7510 = 11110.1102
1/2555
A. Yaicharoen
10
Iterative Method
ส่วนของการเปลี่ยนฐานที่เป็นเลขทศนิยม กรณีที่ผลคูณไม่เป็น 0 ให้หยุดกระบวนการคูณเมื่อคำตอบมีจำนวนหลัก เท่ากับ k หลักซึ่งทำให้เกิดค่าผิดพลาดไม่เกิน ค่าผิดพลาดที่ยอมรับได้
สูตรคำนวณสำหรับหาจำนวนหลักหลังทศนิยมของ เลขฐาน r คือ
r-k < error
1/2555
A. Yaicharoen
11
Special Method
ใช้กับการแปลงเลขในกลุ่ม ฐานสอง แปด และสิบหก
ฐานสอง 4 หลัก = ฐานสิบหก 1 หลัก
ฐานสอง 3 หลัก = ฐานแปด 1 หลัก
ตัวอย่าง แปลง 01010111011.100102 เป็นฐานแปดและ สิบหก
01010111011.100102 = 001 010 111 011.100 1002 = 1273.448
= 0010 1011 1011. 100100002 = 2BB.9016
1/2555
A. Yaicharoen
12
Mathematical Operations
การบวก
การลบ
การลบเลขฐานสองด้วยวิธีการบวก
r’s complement
(r-1)’s complement
การคูณ
การหาร
การคูณและการหารเลขฐานสอง
1/2555
A. Yaicharoen
13
การบวก
การบวกเลขฐานใดๆ สามารถใช้วิธีการบวกเหมือนเลขฐานสิบ แต่ต้องระวังในเรื่องของผลบวกจะต้องไม่เกินฐานของเลขนั้นๆ
ตัวอย่าง หาผลลัพท์ของ 7268 + 1438
จะได้คำตอบคือ
7 2 68
+1 4 38
= 10 7 18
1/2555
A. Yaicharoen
14
Complement
การหา complement
1.หา r’s complement จาก
2.หา r-1’s complement จาก
rn+1-N
rn+1-r-m-N
1/2555
A. Yaicharoen
15
การใช้ r’s complement
การลบด้วยวิธีบวกด้วย r’s complement
1.หา r’s complement ของตัวลบ
2.นำตัวตั้งมาบวกกับ r’s complement ที่ได้
3.พิจารณาตัวทดที่ได้จากผลบวกตัวหน้าสุด (mostsignificant digit)
3.1 ถ้าเป็น 1 ให้ตัดทิ้ง ผลที่ได้จะเป็นคำตอบในรูปจำนวนบวก
3.2 ถ้าเป็น 0 ให้ตัดทิ้ง ผลที่ได้จะเป็นจำนวนลบในรูป r’scomplement
1/2555
A. Yaicharoen
16
การใช้ r’s complement
ตัวอย่าง: หาคำตอบของ 4010 - 3210 โดยใช้วิธีการบวกด้วย 2’s complement
วิธีทำ: หารูปฐานสองของ 4010 และ 3210
4010 = 1010002,
3210 = 1000002; รูป 2’s complement ของ -3210คือ = 1000002
1010002 + 1000002 = 1 0010002
carry = 1; คำตอบเป็นบวก เท่ากับ 810
1/2555
A. Yaicharoen
17
การใช้ r’s complement
ตัวอย่าง: หาคำตอบของ 3210 - 4010 โดยใช้วิธีการบวกด้วย 2’s complement
วิธีทำ: หารูปฐานสองของ 3210 และ 4010
3210 = 1000002,
4010 = 1010002; รูป 2’s complement ของ 4010คือ = 0110002
1000002 + 0110002 = 0 1110002
carry = 0; คำตอบเป็นลบ อยู่ในรูป 2’scomplement เท่ากับ -810
1/2555
A. Yaicharoen
18
การใช้ r-1’s complement
การลบด้วยวิธีบวกด้วย r-1’s complement
1.หา r-1’s complement ของตัวลบ
2.นำตัวตั้งมาบวกกับ r-1’s complement ที่ได้
3.พิจารณาตัวทดที่ได้จากผลบวกตัวหน้าสุด (mostsignificant digit)
3.1 ถ้าเป็น 1 ให้นำมาบวกกับผลลัพท์ ผลที่ได้จะเป็นคำตอบในรูปจำนวนบวก
3.2 ถ้าเป็น 0 ให้ตัดทิ้ง ผลที่ได้จะเป็นจำนวนลบในรูป r-1’s complement
1/2555
A. Yaicharoen
19
การใช้ r-1’s complement
ตัวอย่าง: หาคำตอบของ 4010 - 3210 โดยใช้วิธีการบวกด้วย 1’s complement
วิธีทำ: หารูปฐานสองของ 4010 และ 3210
4010 = 1010002,
3210 = 1000002; รูป 1’s complement ของ -3210คือ = 0111112
1010002 + 0111112 = 1 0001112
carry = 1; ให้นำมาบวกกับคำตอบ ผลที่ได้จะเป็นบวก
0001112 + 12 = 0010002 ซึ่งเท่ากับ 810
1/2555
A. Yaicharoen
20
การใช้ r-1’s complement
ตัวอย่าง: หาคำตอบของ 3210 - 4010 โดยใช้วิธีการบวกด้วย 1’s complement
วิธีทำ: หารูปฐานสองของ 3210 และ 4010
3210 = 1000002,
4010 = 1010002; รูป 1’s complement ของ -4010 คือ = 0101112
1000002 + 0101112 = 0 1101112
carry = 0; คำตอบเป็นลบ อยู่ในรูป 1’scomplement ซึ่งจะมีค่าเท่ากับ -810
1/2555
A. Yaicharoen
21
การคูณเลขฐานสอง
การคูณเลขฐานสอง:
1. ใช้วิธีการคูณแบบปกติหรือ
2. ถ้าตัวคูณอยู่ในรูป 2n ให้เลื่อนตัวตั้งไปทางซ้ายเท่ากับn บิต (จำนวนบิตที่เป็น 0 ที่อยู่หลังเลข 1 ในตัวคูณ)แล้วเติม 0 เข้าไปแทนตำแหน่งที่ว่างข้างหลัง (leastsignificant bit)
ตัวอย่าง หาผลลัพท์ของ 01102 01002
จะเห็นว่าต้องมีการเลื่อนข้อมูล 01102 ไปทางซ้ายสองครั้ง
0110xx2 (ให้ x แทนตำแหน่งว่างที่เกิดขึ้น)
แล้วเติม 0 เข้าไปแทนตำแหน่งที่ว่างจะได้คำตอบเท่ากับ0110002
1/2555
A. Yaicharoen
22
การหารเลขฐานสอง
การหารเลขฐานสอง:
1. ใช้วิธีการหารแบบปกติหรือ
2. ถ้าตัวหารอยู่ในรูป 2n ให้เลื่อนตัวตั้งไปทางขวาเท่ากับn บิต (จำนวนบิตที่เป็น 0 ที่อยู่หลังเลข 1 ในตัวคูณ)แล้วเติม 0 เข้าไปแทนตำแหน่งที่ว่างข้างหน้า (mostsignificant bit)
ตัวอย่าง หาผลลัพท์ของ 10002 01002
จะเห็นว่าต้องมีการเลื่อนข้อมูล 10002 ไปทางขวาสองครั้ง
xx102 (ให้ x แทนตำแหน่งว่างที่เกิดขึ้น)
แล้วเติม 0 เข้าไปแทนตำแหน่งที่ว่างจะได้คำตอบเท่ากับ00102
1/2555
A. Yaicharoen
23
การคูณและการหารเลขฐานสอง
กรณีตัวคูณและตัวหารไม่ได้อยู่ในรูป 2n แต่ต้องการใช้วิธีเลื่อนซ้ายหรือเลื่อนขวาจะต้องทำอย่างไร